Question

已知t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x²-2x+t-1=0的两个非负实根，则（a²-1）（b²-1）的最小值是________．

Answer 1

-3
分析：a，b是关于x的一元二次方程x²-2x+t-1=0的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简（a²-1）（b²-1）即可求解．
解答：∵a，b是关于x的一元二次方程x²-2x+t-1=0的两个非负实根，
∴可得a+b=2，ab=t-1≥0，
∴t≥1，
又△=4-4（t-1）≥0，可得t≤2，
∴2≥t≥1，
又（a²-1）（b²-1）=（ab）²-（a²+b²）+1=（ab）²-（a+b）²+2ab+1，
∴（a²-1）（b²-1），
=（t-1）²-4+2（t-1）+1，
=t²-4，
又∵2≥t≥1，
∴0≥t²-4≥-3，
故答案为：-3．
点评：本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键要掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．