Question

已知a是实数，函数y=2ax²+2x-3-a．若存在x₀（-1≤x₀≤1）满足2ax₀²+2x₀-3-a=0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：此题需要分两种情况进行讨论：
①若此函数是一次函数，则a=0，解析式为：y=2x-3，显然在区间[-1，1]之间没有符合条件的x₀，故此种情况不成立；
②若此函数是二次函数，即a≠0；又要分两种情况进行讨论：
一、若在区间[-1，1]中，只有一个符合条件的零点，那么
1、当x=1、x=-1时，函数值的乘积应该是0或负数，即f（1）•f（-1）≤0，由此可求出a的取值范围；
2、该二次函数与x轴只有一个交点，令△=0，即可求出a的值；
二、若在区间[-1，1]中，有两个零点，那么要分两种情况进行讨论：
1、a＞0，此时函数的开口方向向上，有：f（1）•f（-1）≥0，且根的判别式△＞0，据此可求出a的取值范围；
2、a＜0，此时函数的开口方向向下，有：f（1）•f（-1）≥0，且根的判别式△＞0，据此可求出a的另一个取值范围；
两式上面所提到的各种情况，即可求得a的取值范围．

解答：解：y=f（x）=2ax²+2x-3-a，若a=0，f（x）=2x-3，显然在区间[-1，1]上没有符合条件的x₀，
所以a≠0
令△=4+8a（3+a）=8a²+24a+4=0，
得a=

-3± 7

2

；
当a=

-3- 7

2

时，y=f（x）恰有一个x₀（-1≤x₀≤1）；
当f（-1）•f（1）=（a-1）（a-5）≤0，
即1≤a≤5时，y=f（x），也恰有一个x₀（-1≤x₀≤1）；
当y=f（x）在[-1，1]上有两个x₀时，则

a＞0 △=8a2+24a+4＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(1)≥0 f(-1)≥0

，或

a＜0 △=8a2+24a+4＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(1)≤0 f(-1)≤0

；
解得a≥5或a＜

-3- 7

2

；
因此a的取值范围是a≥1或a≤

-3- 7

2

．

点评：此题主要考查了从函数值域的角度来分析方程有解的参数范围问题，难点在于将各种可能的情况都考虑到．