Question

如图，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，F，E点．GE，CD的交点为M，且ME=4

6

，MD：CO=2：5．
（1）求证：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直径CD的长；
（3）若cos∠B=0.6，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式．

Answer 1

（1）证明：连接DF，
∵CD是圆直径∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，∴∠GEF=∠A．

（2）∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC相似，
∴

OM

ME

=

ME

MC

∴ME²=OM×MC，
又∵ME=4

6

∴OM×MC=(4

6

)2=96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，∴OM：MC=3：8，
设OM=3xMC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
直径CD=10x=20．

（3）∵Rt△ABC斜边AB的中线CD=20，
∴AB=40，
∵在Rt△ABC中，cos∠B=0.6=

BC

AB

，∴BC=24，
∴AC=32，
设直线AB的函数表达式为y=kx+b根据题意得A（32，0）B（0，24），
b=24，0×k+b=24解得k=-

3

4

，32×k+b=0，
∴直线AB的函数解析式为y=-

3

4

x+24．