Question

【题目】已知抛物线开口向下，与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：

①；②；③对于任意实数，总成立；

④关于的方程有两个不相等的实数根.

其中结论正确的个数是（ ）

A. 1个B. 2个

C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由抛物线与y轴的交点位置、对称轴方程可对①进行判断，并能求出另一个交点为（3,0），将代入方程可得a+b+c=0,得到c=-3a，再由轴的交点在，之间（包含端点），可知2≤c≤3从而得到②;根据题意可知x=1时函数取得最大值，则a+b+c≥am2+bm+c从而可以判断③；因为二次函数的最大值为n，而n-1<n，所以与y=n-1这条直线有两个交点，可以判断④.

∵抛物线顶点坐标为，

∴ ，

∴，故①正确；

∵抛物线与轴交于点，

∴a+b+c=0，b=-2a,

∴c=-3a，且c是函数与y轴的交点的纵坐标，

∴2≤c≤3，

∴2≤-3a≤3即，故②正确；

由②可知二次函数开口向下，

又∵顶点坐标为，

∴x=1时y取最大值，

∴a+b+c≥am2+bm+c即a+b≥am2+bm，故③正确；

∵二次函数的最大值为n，并且n-1<n，所以与y=n-1这条直线有两个交点，

∴关于的方程有两个不相等的实数根.故④正确.

故选D.