Question

20．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，若tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，AE=3，求BD的长．

Answer 1

分析 由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据邻补角的定义得到∠ADE=90°，根据切线的性质得到∠EAB=90°，推出△EAD∽△EBA，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{DE}=\frac{EB}{AE}$，得到AE²=ED•EB，根据三角函数的定义得到AB=6，由勾股定理得到BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，即可得到结论．

解答 解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴∠ADE=90°，
∵AE为⊙O的切线，
∴∠EAB=90°，
∵∠E=∠E，
∴△EAD∽△EBA，∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EB}{AE}$，
∴AE²=ED•EB，
在Rt△AEB中，AE=3，tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，∴AB=6，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$
∴3²=ED•3$\sqrt{5}$，
∴ED=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=BE-ED=3$\sqrt{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．