Question

在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD．
（1）如图1，当∠ABC=120°，∠CBD=60°，AB=BC时，猜想线段AC与CD的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当∠ABC+∠CBD=180°，AB≠BC时，（1）中的结论是否成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠ABC=120°，∠CBD=60°，AB=BC，易证得△ABD≌△CBD，即可得AD=CD，又由∠ACD=∠ABD=60°，可证得△ACD是等边三角形，即可证得结论；
（2）首先延长AB到E使BE=BD，连接CE，易证得△CBD≌△CBE，可得CD=CE，∠E=∠BDC，又由∠ABD=∠ACD，可证得△CAE是等腰三角形，证得AC=CE，则可证得结论．

解答：解：（1）AC=CD．
证明：∵∠ABC=120°，∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，

AB=CB ∠ABD=∠CBD BD=BD

，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AD=CD，
∵∠ACD=∠ABD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD；

（2）成立．
证明：延长AB到E使BE=BD，连接CE，
则∠ABC+∠CBE=180°，
∵∠ABC+∠CBD=180°，
∴∠CBD=∠CBE，
在△CBD和△CBE中，

BD=BE ∠CBD=∠CBE BC=BC

，
∴△CBD≌△CBE（SAS），
∴CD=CE，∠E=∠BDC，
∵∠ABD=∠ACD，∠AOB=∠COD，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠BAC=∠E，
∴AC=CE，
∴AC=CD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．