Question

已知抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（O，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）
（1）求该抛物线解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接OQ，当△OQE的面积最大时，求Q点坐标；
（3）作平行于x轴的直线MN交抛物线于M、N点，以线段MN的长为直径作圆，当直线MN运动到何处时，以线段MN为直径的圆与X轴相切？写出过程；
（4）线段CA上的动点P自C向A以每秒

2

单位长度运动，同时线段AB上动点Q自A向B以每秒1个单位长度运动，当点P到达A点时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（O，4），与x轴交于点A（4，0），将经过的两点的坐标代入到二次函数中即可求得二次函数的解析式；
（2）设Q（m，0），可求得B（-2，0），|BA|=6，|BQ|=m+2，根据QE∥AC得到△BQE∽△BAC，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出三角形BEQ的面积，进而表示出三角形CQE的面积，求出最大值即可；
（3）由对称性和垂径定理知，圆心必在抛物线对称轴上，抛物线对称轴为x=1．然后分当圆心在x轴上方时和当圆心在x轴下方时，两种情况求得r的值即可；
（4）分△APQ∽△ACB和△APQ∽△ABC两种情况求得t的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（O，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）
∴

c=4 16a-8a+c=0

解得：

a=- 1 2 c=4

∴函数关系式为y=-

1

2

x2+x+4；

（2）设Q（m，0），
可求得B（-2，0），|BA|=6，|BQ|=m+2，
因QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴

S△BEQ

S△ABC

=

BQ2

BA2

，
∴S△BEQ=

(m+2)2

3

．S△CQE=S△BQC-SBEQ=-

1

3

(m-1)2+3(-2＜m＜4)，
当m=1时，面积最大，此时Q（1，0）；

（3）由对称性和垂径定理知，圆心必在抛物线对称轴上，
抛物线对称轴为x=1．当圆心在x轴上方时，设圆心坐标为（1，r），（r＞0）．
则M（1-r，r），将M点的坐标代入抛物线解析式中得：r=-

1

2

(1-r)2+1-r+4，
解得r=

10

-1．当圆心在x轴下方时，可求得r=-

10

-1，
所以当MN所在的直线解析式为y=

10

-1或y=-

10

-1时，
以线段MN为直径的圆与x轴相切；

（4）若△APQ∽△ACB时，t=2.4；
若△APQ∽△ABC时，t=

16

7

．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，这类题目往往出现在中考试题的最后一个题中，难度相对较大．