Question

【题目】已知，△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，且∠BAC＝∠DAE＝120°，把△ADE绕点A在平面内自由旋转．如图，连接BD，CD，CE，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MP，PN，MN，则△PMN的面积最大值为_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如图，先证明△ABD≌△ACE得到∠1=∠2，BD=CE，再根据三角形中位线的性质得到MP= CE，MP∥CE，PN∥BD，PN= BD，则PM=PN，接着证明∠MPD=∠1+∠3，∠DPN=∠6+∠4，则∠MPN=∠ABC+∠ACB=60°，则可判断△PMN为等边三角形，所以S△PMN= ，利用三角形三边的关系得BD≤AB+AD（当且仅当B、A、D共线时取等号），然后利用BD的最大值为5得到S△PMN的最大值．

解：如图，

∵∠BAC＝∠DAE＝120°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠1＝∠2，BD＝CE，

∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，

∴PM为△DEC的中位线，PN为△CBD的中位线，

∴MP＝CE，MP∥CE，PN∥BD，PN＝BD，

∴PM＝PN，

∵PM∥CE，

∴∠MPD＝∠2+∠3＝∠1+∠3，

∵PN∥BD，

∴∠5＝∠6，

∵∠DPN＝∠4+∠5＝∠6+∠4，

∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠1+∠3+∠6+∠4＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，

∴△PMN为等边三角形，

∴S△PMN＝＝×（BD）2＝BD2，

当BD最大时，S△PMN的值最大，

而BD≤AB+AD（当且仅当B、A、D共线时取等号），

∴BD的最大值为5+2＝7，

∴S△PMN的最大值为．

故答案为．