Question

1．如图1，已知直线l：y=kx+4k和抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1，直线l交x轴于A；
（1）若直线l与抛物线交于B、C两点，当k=1时，求△OBC的面积；
（2）若直线l与抛物线交于B、C两点，过B、C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N两点，当k的值发生变化时，试问：AM•AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请求出其值变化的范围；
（3）如图2，P为抛物线上的一个动点，过P作PQ⊥x轴于点Q，以P为圆心PQ为半径作⊙P，当P点运动时，⊙P始终经过y轴上的一个定点D，求D到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线与直线方程求得交点B、C的坐标，然后结合三角形的面积公式来求△OBC的面积；
（2）由抛物线与直线方程得到$\frac{1}{4}$x²-kx+1-4k，根据根与系数的关系求得x_B+x_C=4k，x_B•x_C=4（1-4k），易得点A的坐标，所以AM•AN=（x_B+4）•（x_C+4）=20，20是定值；
（3）当DA⊥l时D到l的距离最大．利用勾股定理和二次函数最值的求法进行解答即可．

解答 解：（1）如图1，连接OB、OC．
∵k=1，
∴直线l为y=x+4．
$由\left\{\begin{array}{l}y=x+4\\ y=\frac{1}{4}{x^2}+1\end{array}\right.得B（-2，2），C（6，10）$，E（0，4），
∴${S_{△OBC}}={S_{△OEB}}+{S_{△OEC}}=\frac{1}{2}OE|{x_B}|+\frac{1}{2}OE|{x_C}|=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×6=16$；

（2）$由\left\{\begin{array}{l}y=kx+4k\\ y=\frac{1}{4}{x^2}+1\end{array}\right.得\frac{1}{4}{x^2}-kx+1-4k=0$，
∴x_B+x_C=4k，x_B•x_C=4（1-4k）由y=kx+4k得A（-4，0），
∴AM•AN=（x_B+4）•（x_C+4）=x_Bx_C+4（x_B+x_C）+16
=4（1-4k）+4×4k+16=20；

（3）如图2，$设P（t，\frac{1}{4}{t^2}+1），作PF⊥y轴于F，连PD$．
∴$FD=\sqrt{P{D^2}-P{F^2}}=\sqrt{P{Q^2}-P{F^2}}=\sqrt{{{（\frac{1}{4}{t^2}+1）}^2}-t{\;}^2}=\frac{1}{4}{t^2}-1$，
∴$OD=OF-FD=\frac{1}{4}{t^2}+1-（\frac{1}{4}{t^2}-1）=2$，
∴$D（0，2），AD=2\sqrt{5}$．
∵直线l是绕点A旋转，d≤DA，
∴当DA⊥l时D到l的距离最大，
∴$最大值是2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数综合题．解题时需要掌握抛物线与直线交点的求法，二次函数最值的求法，根与系数的关系以及三角形的面积计算．综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．