Question

如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F(E，F不与顶点重合)，设AD＝a，AB＝b，BE＝x．

(Ⅰ)求证：AF＝EC；

(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作E′C，连结B．

(1)当直线EE′经过原矩形的顶点A时，求出所对应的x∶a的值；

(2)当直线EE′经过原矩形的顶点D时，请你说明当a与b满足什么关系时，B⊥EF．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：∵AD＝a，AB＝b，BE＝x，S梯形ABEF＝S梯形CDFE． 　　∴b(x＋AF)＝b(EC＋a－AF)， 　　∴2AF＝EC＋(a－x)． 　　又∵EC＝a－x， 　　∴2AF＝2E即AF＝EC；　　2分 　　(Ⅱ)解：(1)当直线E经过原矩形的顶点D时，如图(一)，　　3分 　　∵EC∥， 　　∴＝． 　　由EC＝a－x，＝EB＝x， 　　D＝DC＋C＝2b， 　　得， 　　∴x∶a＝；　　5分 　　∴B∥EF．　　5分 　　(2)如图(二)，当直线E经过原矩形的顶点A时，设直线EF与B交于点G． 　　过点作M⊥BC于M，则四边形是矩形． 　　 　　在和中， 　　　≌ 　　 　　，即　　7分 　　∴EM＝BC＝． 　　若B与EF垂直，则有∠GBE＋∠BEG＝90°， 　　又∵∠BEG＝∠FEC＝∠2，∠2＋∠ME＝90°，　∴∠GBE＝∠ME． 　　在Rt△BME′中，tan∠BM＝tan∠GBE＝＝． 　　在Rt△EME′中，tan∠ME＝＝， 　　∴　又∵a＞0，b＞0， 　　　　8分 　　注：与本答案不同的正确解法，请参照给分．