Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．

解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∵∠ADC＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，

在Rt△ABC中，

∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，

∴AD＝CD＝BD，

由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，

∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，

∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，

∴AC′＝AQ＝AC，

由△AEC∽△BDQ得：＝，

∴＝＝＝＝．

故选：A．