Question

3．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B；
（2）填空：已知∠P=40°，AB=12cm，点Q在$\widehat{ABC}$上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止，设运动时间为ts．
①当t=3s时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大；
②当t=$\frac{13}{3}$s时，四边形AQBC是矩形．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC．只要证明∠PCA+∠ACO=90°，∠B+∠OCA=90°，即可．
（2）①如图2中，当点Q在AB下方，$\widehat{AQ}$=$\widehat{BQ}$时，四边形AQBC的面积最大，此时t=$\frac{\frac{1}{4}×12π}{π}$=3s．
②如图3中，当$\widehat{AC}$=$\widehat{BQ}$时，四边形AQBC是矩形，连接CQ与AB交于点O．求出弧AQ的长即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC．

∵PC是切线，OC是半径，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠B+∠OCA=90°，
∴∠PCA=∠B．

（2）①如图2中，当点Q在AB下方，$\widehat{AQ}$=$\widehat{BQ}$时，四边形AQBC的面积最大，此时t=$\frac{\frac{1}{4}×12π}{π}$=3s．

故答案为3s．

②如图3中，当$\widehat{AC}$=$\widehat{BQ}$时，四边形AQBC是矩形，连接CQ与AB交于点O．

∵∠P=40°，∠PCO=90°，
∴∠POC=50°，
∴∠AOQ=130°，
∴弧AQ的长=$\frac{130π•6}{180}$=$\frac{13π}{3}$，
∴t=$\frac{\frac{13π}{3}}{π}$=$\frac{13}{3}$s．
故答案为$\frac{13}{3}$s．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、直径的性质、等角的余角相等、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．