Question

【题目】如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，DE经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点D、E。

（1）如图1，若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数；

（2）如图1，若∠ABC=α°，∠ACB=β°，用含α、β的式子表示∠BOC的度数；

（3）探究：如图空白图，在第（2）问的条件下，若∠ABC和∠ACB的邻补角的平分线交于点O，其他条件不变，请画出相应图形，并用含α、β的式子表示∠BOC的度数。

Answer 1

【答案】（1）125°；（2）；（3）

【解析】整体分析：

（1）根据角平分线的性质和平行线的性质，求出∠BOD+∠COE的度数即可；（2）与（1）的方法类似，用α，β表示∠BOD+∠COE的度数；（3）根据题意，画出图形，用角平分线的定义和三角形的内角和定理求解.

解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°.

∵DE∥BC，

∴∠OBC=∠BOD，∠OCB=∠COE，

∴∠BOC=180°-（∠BOD+∠COE）

=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-55°=125°.

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∵∠ABC=α°，∠ACB=β°，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（α+β）.

∵DE∥BC，

∴∠OBC=∠BOD，∠OCB=∠COE，

∴∠BOC=180°-（∠BOD+∠COE）

=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-（α+β）.

（3）∵BO，CO分别为△ABC的外角的平分线，

∴∠OBC=90°-α，∠OCB=90°-β，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-（90°-α+90°-β）

=（α+β）.