Question

已知

6x3+10x

x4+x2+1

=

Ax+B

x2+x+1

+

Cx+D

x2-x+1

，其中A，B，C，D为常数，则A+B+C+D=

 

．

Answer 1

分析：由于x⁴+x²+1=（x²+1）²-x²=（x²+1+x）（x²+1-x），利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于A、B、C、D的方程组，解方程组即可求解．

解答：解：∵

6x3+10x

x4+x2+1

=

Ax+B

x2+x+1

+

Cx+D

x2-x+1

，
并且x⁴+x²+1=（x²+1）²-x²=（x²+1+x）（x²+1-x），
∴

6x3+10x

x4+x2+1

=

(Ax+B)(x2+1-x)+(Cx+D)(x2+1+x)

x4+x2+1

∴6x³+10x=（Ax+B）（x²+1-x）+（Cx+D）（x²+1+x）
∴当x=0时，B+D=0 ①
当x=1时，A+B+3（C+D）=16  ②
当x=-1时，3（B-A）+D-C=-16  ③
         依题意得A+C=6     ④
联立①②③④解之得
A=C=3、B=-2、D=2，
∴A+B+C+D=6．
故答案为：6．

点评：此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．