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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒).

1.当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形

2.当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2

3.是否存在点P,使△PQD是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由.

 

【答案】

 

1.∵四边形PQDC是平行四边形

∴DQ=CP

∵DQ=AD-AQ=16-t,CP=21-2t

∴16-t=21-2t

 解得 t=5

当 t=5秒时,四边形PQDC是平行四边形

…………(2分)

2.若点P,Q在BC,AD上时

 

 
         即 

        解得t=9(秒)  …………(2分)

        若点P在BC延长线上时,则CP=2t-21,

        解得 t=15(秒)

  ∴当t=9或15秒时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等(2分)

3.当PQ=PD时

     作PH⊥AD于H,则HQ=HD

     ∵QH=HD=QD=(16-t)

     由AH=BP得 

     解得秒  …………(2分)

     当PQ=QD时  QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t, QD=16-t

     ∵QD2= PQ2=122+t2

∴(16--t)2=122+t2  解得(秒) …………(2分)

     当QD=PD时  DH=AD -AH=AD-BP=16-2t

     ∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16-2t)2

∴(16-t)2=122+(16-2t)2

即  3t2-32t+144=0

∵△<0       ∴方程无实根

综上可知,当秒或(秒)时, △BPQ是等腰三角形……(2分)

【解析】(1)由题意已知,AD∥BC,要使四边形PQDC是平行四边形,则只需要让QD=PC即可,因为Q、P点的速度已知,AD、BC的长度已知,要求时间,用时间=路程÷速度,即可求出时间;

(2)要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2,可以分为两种情况,即点P、Q在BC、AD,点P在BC延长线上,再利用梯形面积公式,即(QD+PC)×AB÷2=60,因为Q、P点的速度已知,AD、AB、BC的长度已知,用t可分别表示QD、BC的长,即可求得时间t;

(3)使△PQD是等腰三角形,可分三种情况,即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD;可利用等腰三角形及直角梯形的性质,分别用t表达等腰三角形的两腰长,再利用两腰相等即可求得时间t.

 

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