Question

【题目】已知O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），有点C(﹣2，6)．

（1）求A，B两点的坐标．

（2）若点D(1，﹣3)，点E在线段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延长ED交y轴于点F，求△EFO的面积．

（3）若M在直线AC上，点Q在抛物线上，是否存在点M和点N，使以Q，M，N，A为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出M点的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(4，0)，B(﹣1，0)；（2）；（3）存在，或M(0，4)或M(8，﹣4)

【解析】

（1）令x2﹣3x﹣4＝0求出解即可求点的坐标；

（2）过点B作BG⊥AC，过点作，设E（m，0），由△ABC、△ADE的面积可求、 ，因为根据相似三角形的性质求出m的值，确定E、F点坐标即可求；

（3）当AC为正方形QAMN边时，M点与N点关于x轴对称；M、N的中点与A、Q中点相同可求M的坐标；当M、Q关于x轴对称时，M（0，4），此时Q（0，﹣4）在抛物线上；当Q（0，﹣4）时，M（8，﹣4）．

解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，

∵点A在点B的右侧

∴A（4，0），B（﹣1，0）；

（2）过点B作BG⊥AC，过点作，如图：

设E（m，0），

∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），

AC＝ ，AD＝，BC＝

由△ABC的面积可得

∴

由△ADE的面积可得，

∴

∵∠ACB＝∠ADE，

∴

∴

∴

∴2m2﹣41m+57＝0

∴或m＝19

∵点E在线段OA上

∴

∵设ED的直线解析式为，，

∴

∴

∴ED的直线解析式为

∴当时，

∴

∴

（3）设的直线解析式为，，

∴

∴

∴直线的解析式为

∵

∴∠CAO＝45°，

设M（t，﹣t+4），

①当M点与N点关于x轴对称时，如图：

∴N（t，t﹣4），

∴M、N的中点为（t，0），

∴A、Q中点也为（t，0），

∴Q（2t﹣4，0），

∵点Q在抛物线上，

∴2t﹣4＝﹣1，

∴

∴

②当M、Q关于x轴对称时，M（0，4），此时Q（0，﹣4）在抛物线上，如图：

③当Q（0，﹣4）时，M（8，﹣4），如图：

∴综上所述：或M（0，4）或M（8，﹣4）．

故答案是：（1）A(4，0)，B(﹣1，0)；（2）；（3）存在，或M(0，4)或M(8，﹣4)