Question

【题目】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC，

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径．

（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）见解析

【解析】

（1）连接OA，OD，证∠OAF＝∠D，∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，∠EOD＝90°，可推出∠CAF+∠∠OAF＝90°，进一步推出结论；

（2）如图1，设半径为r，在Rt△OFD中，通过勾股定理即可求出半径的值；

（3）连接EH，证△CAE≌△HAE，推出△AEO是等边三角形，进一步证明△ABH和△ABG是等边三角形，即可推出结论．

解:（1）证明：如图1，连接OA，OD，

则∠OAF＝∠D，

∵D为BE的下半圆弧的中点，

∴，

∴∠EOD＝∠BOD＝×180°＝90°，

∴∠OFD+∠D＝90°，

∵CA＝CF，

∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，

∴∠CAF+∠∠OAF＝90°，

即∠CAO＝90°，

∴OA⊥CA，

∴AC是⊙O的切线；

（2）如图1，设半径为r，

则OF＝BF﹣OB＝8﹣r，

∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，

∴（8﹣r）2+r2＝（）2，

解得，r1＝6，r2＝2（舍去），

∴⊙O的半径为6；

（3）如图2，连接EH，

由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，

又∵AE＝AE，

∴△CAE≌△HAE（SAS），

∴∠C＝∠EHA，

∵，

∴∠EHA＝∠ABE，

∴∠C＝∠ABE，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵BE为⊙O的直径，

∴∠EAB＝90°，

∴∠OAB+∠OAE＝90°，

又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°，

∴∠CAE＝∠OAB，

∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE，

∴AC＝AB，

∴△CAE≌△BAO（ASA），

∴AE＝AO＝OE，

∴△AEO是等边三角形，

∴∠AEO＝60°，

∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，

∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，

∵CA＝AH，CA＝AB，

∴AH＝AB，

又AHB＝60°，

∴△ABH是等边三角形，

∴AB＝BH＝AH，

∵GB，GA是⊙O的切线，

∴GB＝GA，

又∠ABG＝60°，

∴△ABG是等边三角形，

∴AB＝BG＝AG，

∴BH＝AH＝BG＝AG，

∴四边形AHBG是菱形．