Question

【题目】如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D，交y轴为E．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）．

【解析】

（1）根据题意，设出抛物线的交点式，再根据抛物线过点C，可以求得该抛物线的解析式；

（2）根据（1）中的抛物线的解析式可以求得点D的坐标，从而可以求得直线BD的解析式，进而求得点E的坐标，再根据三角形相似，即可求得 的值．

（1）设该函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）

则3＝a（0+3）（0﹣1），

解得，a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，

即二次函数的解析式；是y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，

∵点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，

∴点D的坐标为（﹣2，3），

设过点B（1，0）、点D（﹣2，3）的直线的函数解析式为y＝kx+b，

，得 ，

即直线BD的解析式为y＝﹣x+1，

当x＝0时，y＝﹣0+1＝0，

即点E的坐标为（0，1），

作DF⊥AB于点F，

∵DF⊥AB，EO⊥AB于点O，

∴△BEO∽△BDF，

∴=，

∵点B（1，0），点F（﹣2，0），

∴BO＝1，BF＝3，

∴= ，

∴＝．