Question

【题目】在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合)，连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．

(1)如果点D在线段BC上运动，如图1：

①依题意补全图1；

②求证：∠BAD＝∠EDC；

③通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE＝135°，．

小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：

想法一：在AB上取一点F，使得BF＝BD，要证∠DCE＝135°，只需证△ADF≌△DEC．

想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F，要证∠DCE＝135°，只需证△AFD≌△DCE．

想法三：过点E作BC所在直线的垂直线段EF，要证∠DCE＝135°，只需证EF＝CF．

请你参考上面的想法，证明∠DCE＝135°

(2)如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE的度数；如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)①见解析；②证明见解析；③证明见解析；(2)∠DCE＝45°.

【解析】

(1)①根据题意作出图形即可；②根据余角的性质得到结论；③证法1：在AB上取点F，使得BF＝BD，连接DF，根据等腰直角三角形的性质得到∠BFD＝45°，根据全等三角形的性质得到∠DCE＝∠AFD＝135°；证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，根据全等三角形的性质即可得到结论；证法3：过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)过E作EF⊥DC于F，根据全等三角形的性质得到DB＝EF，AB＝DF＝BC，根据线段的和差得到FC＝EF，于是得到结论．

解：(1)①如图①所示；

②证明：∵∠B＝90°，

∴∠BAD+∠BDA＝90°，

∵∠ADE＝90°，点D在线段BC上，

∴∠BAD+∠EDC＝90°，

∴∠BAD＝∠EDC；

②证法1：如图，在AB上取点F，使得BF＝BD，连接DF，

∵BF＝BD，∠B＝90°，

∴∠BFD＝45°，

∴∠AFD＝135°，

∵BA＝BC，

∴AF＝CD，

在△ADF和△DEC中，

∴△ADF≌△DEC，

∴∠DCE＝∠AFD＝135°；

证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，

∴DC＝DF，∠DFC＝∠DCF，

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴∠ACB＝45°，∠DFC＝45°，

∴∠DFC＝90°，∠AFD＝135°，

∵∠ADE＝∠FDC＝90°，

∴∠ADF＝∠EDC，

在△ADF≌△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE，

∴∠AFD＝∠DCE＝135°；

证法3：过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，

∴∠EFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠EFD＝∠B，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，

∴AB＝DF，BD＝EF，

∵AB＝BC，

∴BC＝DF，BC﹣DC＝DF﹣DC，

即BD＝CF，

∴EF＝CF，

∵∠EFC＝90°，

∴∠ECF＝45°，∠DCE＝135°；

(2)解：∠DCE＝45°，

理由：过E作EF⊥DC于F，

∵∠ABD＝90°，

∴∠EDF＝∠DAB＝90°﹣∠ADB，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，

∴DB＝EF，AB＝DF＝BC，

∴BC﹣BF＝DF﹣BF，

即FC＝DB，

∴FC＝EF，

∴∠DCE＝45°．