Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点P是AB上不与A、B重合的任意一点，作PQ⊥DP，Q在BC上，设AP=x，BQ=y，
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）求函数图象的顶点坐标，并作出大致图象．

Answer 1

分析：（1）首先根据图象将PB用x表示．再根据在直角三角形中正切函数与两直角边间的关系，列出函数关系式．求得y与x之间的函数关系式，自变量x也就确定．
（2）将函数关系式写为顶点式，马上可确定顶点坐标．根据三点坐标画出图象即可．

解答：解：（1）∵AP=x
∴BP=AB-AP=4-x
∵PQ⊥DP，即∠DPQ=90°
∴∠DPA+∠BPQ=180°-∠DPQ=90°
又∵∠DPA+∠ADP=90°
∴∠ADP=∠BPQ?tan∠ADP=tan∠BPQ?

AP

AD

=

BQ

BP

，即

x

4

=

y

4-x

∴y=-

1

4

（x-2）²+1 （0＜x＜4）

（2）由上面解析式可知，顶点坐标为（2，1），

点评：本题着重考查了二次函数的图象、正方形的性质．再建立函数关系式过程中灵活运用了三角函数（本题该过程也可通过相似三角形来解决）．