Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴正半轴于点（1，0）和点，交轴于点．

（1）如图1，直线经过点、点，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，当时，求点的纵坐标．

（3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，作轴于点，延长交于，当时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的纵坐标为2；（3）点的坐标为（，11）．

【解析】

（1）由直线的解析式，先求出点B、C的坐标，结合点A的坐标，利用待定系数法即可得到答案；

（2）把点A代入，求出n的值，然后得到点C和点E的坐标，然后求出点F的坐标，设点P为（x，），由，即可求出点P的横坐标，即可求出点P的纵坐标；

（3）过点P作PI⊥GH于点I，先求出直线PE的解析式，得到PK=2PI，然后设点G为（m，），表示出GK的长度，结合，得到关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，即可得到答案．

解：（1）∵经过点、点，

∴令，，

令，，

∴点B为（3，0），点C为（0，3），

设抛物线的解析式为，

把点A、B、C，三点代入解析式，得：

，解得：，

∴；

（2）∵点A（1，0）在抛物线图像上，则

，

∴，

∴，

∴顶点E为（2，），

令x=0，则，

∴点C为（0，3），

∵EF垂直平分CD，

∴点D的坐标为（4，3），点F的坐标为（2，3），

∵点P在抛物线上，则设点P为（x，），

又∵E为（2，），F为（2，3），

∴，，

∵，

∴，

∴，

解得：，

∵点P在对称轴右侧，则，

∴点P的横坐标为，

∴点P的纵坐标为：

；

（3）如图：过点P作PI⊥GH于点I，

∵点E（2，），点P为（，2），

∴可求出直线PE的解析式为：，

∴∠KPI=60°，

∵PI⊥GH，

∴∠KIP=90°，∠PKI=30°，

∴PK=2PI，

∵点G在抛物线图像上，

则设点G为（m，），

∴点K的坐标为（m，）

∴GK=；

∵第P的坐标为（，2），

∴点I的坐标为（m，），

∴PI=，

∴PK=，

∵，

∴，

解得：，，

当时，点G与点P、点K重合，

∴；不符合题意，舍去；

∴点G的横坐标为；

∴点G的纵坐标为：，

∴点G的坐标为（，11）．