Question

【题目】如图，是的直径，为半径的中点，过作交弦于点，交于点，且.

（1）求证：是的切线；

（2）连接，，求的度数；

（3）若，，求的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的半径为4.

【解析】

（1）连接，由等边对等角的性质可得：，，由垂线的性质和三角形内角和定理可得：∠OAG＋∠ADC＝90°，等角代换可得; ∠OGA＋∠DGF＝90°，继而根据切线的判定即可求证结论；

（2）连接，先求证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，继而由同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半即可求解的度数；

（3）过点作于点，先征得，在利用三角函数值求得： ，，然后求证由相似三角形的判定方法，由相似三角形的性质可得：，进而设，， ，，，代入，解方程即可求解.

（1）证明：如图1，连接.

∵，，

∵，.

又∵，

∴，

∴，

∴，

即是的切线.

（2）解：如图1，连接.

∵，，

∴.

∵.

∴是等边三角形，

∴，

∴.

（3）如图2，过点作于点.

∵，

∴.

∵，

∴，

在中，，

∴.

∵是的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴.

∵，设，，则，，，

∴，

解得：，

∴，

∴的半径为4.