Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12$\sqrt{3}$cm，BC=12cm；动点P从点C开始沿CA以2$\sqrt{3}$cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BC以 2cm/s的速度向点C移动．如果P、Q、R分别从C、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）∠CAB的度数是30°；
（2）以CB为直径的⊙O与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值；
（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意和正切的定义以及特殊角的三角函数值解答即可；
（2）连接OP，OM，根据切线的性质得到∠PMO=90°，证明Rt△PMO≌Rt△PCO，△OBM是等边三角形，根据等边三角形的性质和正切的概念解答；
（3）过点Q作QE⊥AC于点E，根据余弦的概念用t表示出QE，根据三角形的面积公式和二次函数的性质解答；
（4）分PQ₁=AQ₁=4t、AP=AQ₂=4t、PA=PQ₃=4t三种情况，作出辅助线，根据等腰三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，CA=12$\sqrt{3}$cm，BC=12cm，
∴tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAB=30°，
故答案为：30°；
（2）如图1，连接OP，OM．
当PM与⊙O相切时，有∠PMO=∠PCO=90°，
∵MO=CO，PO=PO，
∴Rt△PMO≌Rt△PCO，
∴∠MOP=∠COP；
由（1）知∠OBA=60°，
∵OM=OB，
∴△OBM是等边三角形，
∴∠BOM=60°，
∴∠MOP=∠COP=60°，
∴CP=CO•tan∠COP=6•tan60°=$6\sqrt{3}$，
又∵$CP=2\sqrt{3}t$
∴$2\sqrt{3}$t=$6\sqrt{3}$
∴t=3，
即：t=3s时，PM与⊙O相切；
（3）如图2，过点Q作QE⊥AC于点E，
∵∠BAC=30°，AQ=4t，
∴$QE=\frac{1}{2}AQ=2t$AE=AQ•cos∠BAC=4t•cos30°=$2\sqrt{3}t$，
∴${S_{△ACB}}=\frac{1}{2}•AC•CB=\frac{1}{2}•12\sqrt{3}•12=72\sqrt{3}$${S_{△AQP}}=\frac{1}{2}•AP•QE=\frac{1}{2}•（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）•2t=（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）•t$${S_{△QBR}}=\frac{1}{2}•BR•CE=\frac{1}{2}•BR•（AC-AE）=\frac{1}{2}•2t•（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）$=$t•（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）$${S_{△PCR}}=\frac{1}{2}•RC•CP=\frac{1}{2}•（12-2t）•2\sqrt{3}t$=$（12-2t）•\sqrt{3}t$；
∴S_△PQR=S_△ACB-S_△AQP-S_△QBR-S_△PCR
=$72\sqrt{3}-（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）•t-t•（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）-（12-2t）•\sqrt{3}t$
=$6\sqrt{3}{t^2}-36\sqrt{3}t+72\sqrt{3}$
=$6\sqrt{3}{（t-3）^2}+18\sqrt{3}$（0＜t＜6），
∴当t=3s时，${S_{△PQR最小值}}=18\sqrt{3}$cm²；
（4）存在．如图3，分三种情况：
①PQ₁=AQ₁=4t时，过点Q₁作Q₁D⊥AC于点D，
则$AP=2AD=2A{Q_1}•COS∠A=4\sqrt{3}t$$CP=2\sqrt{3}t$，
∴$4\sqrt{3}t+2\sqrt{3}t=12\sqrt{3}$，
∴t=2；
②当AP=AQ₂=4t时，
∵$CP+AP=12\sqrt{3}$，
∴$2\sqrt{3}t+4t=12\sqrt{3}$$t=\frac{{6\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}$=$（12\sqrt{3}-18）$，
③当PA=PQ₃=4t时，
过点P作PH⊥AB于点H，
AH=PA•cos30°=$（12\sqrt{3}-2\sqrt{3}t）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=18-3tAQ₃=2•AH=36-6t，
∴36-6t=4t，
∴t=3.6，
综上所述，当$t=2，3.6，（12\sqrt{3}-18）$s时，△APQ是等腰三角形．

点评 本题考查的是圆的有关知识，掌握切线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和函数解析式的确定方法是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．