Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．

Answer 1

若△APQ与△AOB相似，有两种情况．
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10．设Q点的坐标是（x，y）．
（1）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，

AP

AO

=

AQ

AB

，

t

6

=

10-2t

10

，即t=

30

11

s，
∴AP=

30

11

，
∴OP=0A-AP=

36

11

．
∴BQ=

60

11

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

60

11

×

8

10

=

40

11

，
过Q作QC⊥OB于C，
y=QC=QBsinB=

36

11

，
P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

）

（2）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，
∴

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

6

=

10-2t

10

，
解得：t=

30

11

，
∴AP=

30

11

，OP=OA-AP=

36

11

，
∴BQ=

60

11

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

60

11

×

8

10

=

40

11

，y=QBsinB=

60

11

×

6

10

=

36

11

．
所以P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

），
当P与B对应时，△APQ∽△ABO，
∴

AP

AB

=

AQ

AO

，即

t

10

=

10-2t

6

，
解得：t=

50

13

，
∴AP=

50

13

，OP=OA-AP=

28

13

．
∴BQ=

100

13

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

100

13

×

8

10

=

24

13

，y=QBsinB=

100

13

×

6

10

=

60

13

．
所以P（0，

28

13

）Q（

24

13

，

60

13

），
综上，P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

）或者P（0，

28

13

）Q（

24

13

，

60

13

）．