Question

【题目】综合与实践—探究正方形旋转中的数学问题

问题情境:已知正方形中，点在边上，且.将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）.同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答.

特例分析:（1）“乐思”小组提出问题:如图1，当点落在正方形的对角线上时，设线段与交于点.求证:四边形是矩形；

（2）“善学”小组提出问题:如图2，当线段经过点时，猜想线段与满足的数量关系，并说明理由；

深入探究:（3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择题.

A.在图2中连接和，请直接写出的值.

B.“好问”小组提出问题:如图3，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，设直线交线段于点.连接，并过点作于点.请在图3中补全图形，并直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）A.，B..

【解析】

（1）根据旋转性质证得，从而证得绪论；

（2）连接、，过点作，根据旋转性质结合三角形三线合一的性质证得，再证得四边形是矩形，从而求得结论；

（3）A. 设，根据旋转性质结合两边对应成比例且夹角相等证得，利用相似三角形对应边成比例再结合勾股定理即可求得答案；

B. 作交直线于点，根据旋转性质利用AAS证得，证得OP是线段的中垂线，根据旋转性质结合两边对应成比例且夹角相等证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比再结合勾股定理即可求得答案；

（1）由题意得：，，

由旋转性质得：，

∵

四边形是矩形

（2）连接、，过点作于N，

由旋转得：，

∵，

，

∵ON⊥D，∠=∠，

∴四边形是矩形，

∴，

∴；

（3）A.如图，连接，，，

由旋转的性质得：∠BO=∠，BO= O，，

∴，

∴，

，

，

设，则，

B.如图，过点作AG∥交直线于点G，过点O作交直线于点，连接OP，

∵AG∥，

，

四边形是正方形 ，

由旋转可知： ，，，，，

，，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

又∵，

，

，，，

，

，

又∵，，

，

， ，

设，则，，

在中，由勾股定理可得：

，

．