Question

20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E、F分别是DO、AO的中点．若AB=8cm，BC=4cm，则△OEF的周长为（2$\sqrt{5}$+2）cm．

Answer 1

分析 由矩形的性质和勾股定理得出AC，再证明EF是△OAD的中位线，由中位线定理得出OE=OF=$\frac{1}{2}$OA，即可求出△OEF的周长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=4cm，OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，OA=OD=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵点E、F分别是DO、AO的中点，
∴EF是△OAD的中位线，OE=OF=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=2$\sqrt{5}$+2（cm）．
故答案为：（2$\sqrt{5}$+2）cm．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、三角形周长的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．