Question

△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，DE⊥AC于E，G是DE的中点，AG，BE相交于点H，BE，AD相交于点M
（1）如图a，若∠BAC=60°，求证：△ADG∽△BCE；
（2）如图b，连接DH，AM=1，BE=4AG，求DH的长．

Answer 1

分析：（1）先根据∠BAC=60°，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，可得出BD=DC，∠DAC=∠EDC=30°，在Rt△DEC中，由直角三角形的性质可知

DC

EC

=2，所以

BC

EC

=4，同理可得在Rt△ADE中，

AD

DE

=2，

AD

DG

=4，
故可得出

BC

AD

=

EC

DG

，再由∠ADE=∠C即可得出结论；
（2）由∠ADE+∠EDC=90°可知∠ADE=∠C，由相似三角形的判定定理可知△CDE∽△DAE，故可得出

CD

DA

=

CE

DE

，即

1 2 BC

DA

=

CE

2DG

，

BC

CE

=

DA

DG

，∠ADE=∠C，进而得出△ADG∽△BCE，tanC=

1

2

，故可得出∠AHE=∠ADB=90°，设DG=

5

a，则GE=

5

a，EC=4

5

a，DC=10a，所以AD=5a，AE=

5

a，∠AGE=45°，过点E作EF⊥BC于点F，过点H作GP⊥AD于点P，根据MD∥EF可知△BMD∽△BEF，所以

MD

EF

=

BD

BF

，

MD

BD

=

EF

BF

=

4a

12a

=

1

3

=tan∠MBD=tan∠DAG=

1

3

，在Rt△AHE中可用a表示出AH的长，在Rt△AMH中，根据AM=

5

3

a=1求出a的值，故可得出AH，AP，DP，PH的长，根据勾股定理即可得出结论．

解答：（1）证明：∵∠BAC=60°，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，
∴BD=DC，∠DAC=∠EDC=30°，
∴在Rt△DEC中，

DC

EC

=2，
∴

BC

EC

=4，
在Rt△ADE中，
∵

AD

DE

=2，
∴

AD

DG

=4，
∴

BC

AD

=

EC

DG

，
∵∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△BCE；

（2）解：∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DEC=∠AED=90°，
∴△CDE∽△DAE，
∴

CD

DA

=

CE

DE

，
∴

1 2 BC

DA

=

CE

2DG

，
∴

BC

CE

=

DA

DG

，∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△BCE，
∴

BE

AG

=

EC

DG

=4，
∴

2DG

EC

=

DE

EC

=2，
∴tanC=

1

2

，
∴∠DAG=∠EBC，∠AMH=∠BMD，
∴∠AHE=∠ADB=90°，
设DG=

5

a，则GE=

5

a，EC=4

5

a，DC=10a，
∴AD=5a，AE=

5

a，
∴∠AGE=45°，
过点E作EF⊥BC于点F，过点H作GP⊥AD于点P，
∴EF=4a，FC=8a，BF=12a，
∵MD∥EF，
∴△BMD∽△BEF，
∴

MD

EF

=

BD

BF

，
∴

MD

BD

=

EF

BF

=

4a

12a

=

1

3

=tan∠MBD=tan∠DAG=

1

3

，
在Rt△AHE中，AH=

5 a

2

=

10

2

a，
在Rt△AMH中，
∵AM=

5

3

a=1，
∴a=

3

5

，AD=3，
∴AH=

3 10

10

，AP=

9

10

，DP=

21

10

，PH=

3

10

，
∴DH=

PH2+DP2

=

3 2

2

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质求解是解答此题的关键．