Question

如图，直线分别交x轴、y轴于B、A两点，抛物线L：y=ax²+bx+c的顶点G在x轴上，且过（0，4）和（4，4）两点。

（1）求抛物线L的解析式；
（2）抛物线L上是否存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形，若存在，请求出C点的坐标，若不存在，请说明理由。
（3）将抛物线L沿轴平行移动得抛物线L₁，其顶点为P，同时将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，使点D落在抛物线L₁上，试问这样的抛物线L₁是否存在，若存在，求出L₁对应的函数关系式，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线L过（0，4）和（4，4）两点，由抛物线的对称性知对称轴为x=2 ∴G（2，0），将（2，0）、（4，4）代入， 得，解得 ∴抛物线L的解析式为。 （2）∵直线分别交x轴、y轴于B、A两点， ∴A（0，3），B（-，0） 若抛物线L上存在满足的点C，则AC∥BG， ∴C点纵坐标此为3，设C（m，3）， 又C在抛物线L，代入解析式： ∴， 当时，BG=，AG= ∴BG∥AG且BG=AG，此时四边形ABGC是平行四边形，舍去 当时，， ∴BG∥AG且BG≠AG，此时四边形ABGC是梯形 故存在这样的点C，使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形， 其坐标为：C（，3）。
（3）假设抛物线L1是存在的，且对应的函数关系式为 ∴顶点P（n，0） Rt△ABO中，AO=3，BO=，可得∠ABO=60°， 又△ABD≌△ABP ∴∠ABD=60°，BD=BP= 如图，过D作DN⊥轴于N点， Rt△BND中，BD=，∠DBN=60° ∴ ∴D（，） 即 又D点在抛物线上 ∴ 整理得 解得， 当时，P与B重合，不能构成三角形，舍去， ∴当时，此时抛物线为。