Question

【题目】如图，四边形是的内接正方形，，、是的两 条切线，、为切点.

（1）如图1，求的半径；

（2）如图1，若点是的中点，连结，求的长度；

（3）如图2，若点是边上任意一点（不含、），以点为直角顶点，在的上方作，交直线于点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可；
（2）利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，进而利用勾股定理得出即可；
（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可．

解：（1）如图1，连接OD，OC，

∵PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点，
∴∠ODP=∠OCP=90°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∴四边形DOCP是正方形，
∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，
∴DO=CO=DCsin45°= ×4=2 ；
（2）如图1，连接EO，OP，
∵点E是BC的中点，
∴OE⊥BC，∠OCE=45°，
则∠E0P=90°，
∴EO=EC=2，OP=CO=4，
∴PE=；

（3）证明：如图2，在AB上截取BF=BM，

∵AB=BC，BF=BM，
∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，
∴∠FAM=∠NMC，
∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，
∴∠DCP=45°，
∴∠MCN=135°，
∵∠AFM=180°-∠BFM=135°，
在△AFM和△CMN中

∴△AFM≌△CMN（ASA），
∴AM=MN．