练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=12cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

    （1）连接DE、DF，当t为何值时，四边形AEDF为菱形？
    （2）连接PE、PF，在整个运动过程中，△PEF的面积是否存在最大值？若存在，试求当△PEF的面积最大时，线段BP的长．
    （3）是否存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）根据四边形AEDF为菱形，则EF垂直平分AD，此时，DH=$\frac{1}{2}$AD=4cm，再根据直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，即可求得t=$\frac{4}{2}$=2（s）；
    （2）先根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，进而得出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，据此求得EF=12-3t，再根据S△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$（12-3t）•2t=-3t2+12t=-3（t-2）2+12（0＜t≤4），求得当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为12cm2，最后计算线段BP的长；
    （3）若点F在线段EP的中垂线上，则FE=FP，过点F作FG⊥BC于G，则FG=HD=2t，FG∥AD，根据△FCG∽△ACD，得到$\frac{CG}{CD}$=$\frac{FG}{AD}$，进而得到CG=$\frac{3}{2}$t，PG=12-3t-$\frac{3}{2}$t，最后在Rt△PFG中，根据勾股定理列出方程（12-3t-$\frac{3}{2}$t）2+（2t）2=（12-3t）2，即可求得t的值．

    解答 解：（1）如图1，若四边形AEDF为菱形，则EF垂直平分AD，
    此时，DH=$\frac{1}{2}$AD=4cm，
    又∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，
    ∴t=$\frac{4}{2}$=2（s），
    此时，EF垂直平分AD，
    ∴AE=DE，AF=DF．
    ∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
    ∴AD⊥BC，∠B=∠C．
    ∴EF∥BC，
    ∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
    ∴∠AEF=∠AFE，
    ∴AE=AF，
    ∴AE=AF=DE=DF，
    即四边形AEDF为菱形，
    故当t=2s时，四边形AEDF为菱形；

    （2）如图2，∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，AD=8cm，
    ∴DH=2t，AH=8-2t，
    ∵EF∥BC，
    ∴△AEF∽△ABC，
    ∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，即$\frac{EF}{12}$=$\frac{8-2t}{8}$．
    解得EF=12-3t，
    ∴S△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$（12-3t）•2t=-3t2+12t=-3（t-2）2+12（0＜t≤4），
    ∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为12cm2，
    此时BP=3t=6cm；

    （3）存在某一时刻t，使点F在线段EP的中垂线上．
    ∵AB=AC，AD⊥BC，BC=12cm，AD=8cm，
    ∴AB=AC=10cm，
    若点F在线段EP的中垂线上，则FE=FP，
    由（2）可得，EF=12-3t=PF，
    如图3，过点F作FG⊥BC于G，则FG=HD=2t，FG∥AD，
    ∴△FCG∽△ACD，
    ∴$\frac{CG}{CD}$=$\frac{FG}{AD}$，即$\frac{CG}{6}$=$\frac{2t}{8}$，
    ∴CG=$\frac{3}{2}$t，
    又∵BP=3t，BC=12cm，
    ∴PG=12-3t-$\frac{3}{2}$t，
    ∴Rt△PFG中，（12-3t-$\frac{3}{2}$t）2+（2t）2=（12-3t）2，
    解得t1=$\frac{144}{61}$或t2=0（舍去），
    ∴当t=$\frac{144}{61}$时，点F在线段EP的中垂线上．

    点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及二次函数的极值，勾股定理以及解方程等知识点的综合应用，作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的性质表示出EF的长是解题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    13．如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为2时，输出的数值为-13．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    14．某种商品因换季准备打折出售，如果按照原定价的七五折出售，每件将赔10元，而按原定价的九折出售，每件将赚38元，则这种商品的原定价是（　　）
    A．200元B．240元C．320元D．360元

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    11．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．观察图形，可知图③有9个三角形，按这种方式继续下去，第n个图形中有4n-3个三角形（用含n的代数式表示）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    18．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
    A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．锐角三角形

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    8．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），则a的取值范围是（　　）
    A．a＜0B．-3＜a＜0C．a＜$-\frac{3}{2}$D．$-\frac{9}{2}$＜a＜$-\frac{3}{2}$

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．某鲜花销售部在春节前20天内销售一批鲜花．其中，该销售部公司的鲜花批发部日销售量y1（万朵）与时间x（x为整数，单位：天）关系为二次函数，部分对应值如表所示．
    时间x（天）048121620
    销量y1（万朵）0162424160
    与此同时，该销售部还通过某网络电子商务平台销售鲜花，网上销售日销售量y2（万朵）与时间x（x为整数，单位：天） 的函数关系如图所示．
    （1）求y1与x的二次函数关系式及自变量x的取值范围；
    （2）求y2与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
    （3）当8≤x≤20时，设该花木公司鲜花日销售总量为y万朵，写出y与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总量y最大，并求出此时的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    12．多项式2a2-4a+1与多项式-3a2+2a-5的差是5a2-6a+6．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，CD=2，tanB=$\frac{3}{4}$．
    （1）求AD和AB的长；
    （2）求sin∠BAD的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案