Question

26、如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高，且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N．
（1）试找出图中所有的等腰三角形，请写出来；
（2）图中是否有等边三角形？若有，请找出并说明理由．
（3）若MD=2cm，求DC的长．

Answer 1

分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难．

解答：解：（1）△ADC，△AMB，△BNC，△MNP，△ABE
∵∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高
∴∠DAC=45°，又∵∠ACB=45°
∴△ADC为等腰三角形．
∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N
∴∠ABM=30°，又∵∠BAM=30°
∴△AMB为等腰三角形．
由题意可知∵∠NBC=∠NCB=30°
∴△BNC为等腰三角形．
∠PMN=∠MNP=60°
∴△MNP为等腰三角形．
∵∠ABE=30°，∠BAC=75°
∴∠BEA=75°
∴△ABE为等腰三角形．

（2）图中△MNP为等边三角形．
∵∠PMN=∠MNP=60°
∴△MNP为等边三角形．

（3）在直角三角形BDM中，
∵MD=2，∠MBD=30°
∴BM=4
在等腰三角形AMB中，BM=AM
∴AD=AM+MD=6，
在等腰直角三角形ADC中
AD=DC
∴DC=6

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．