Question

已知，抛物线y=

1

2

x2-kx+(k+2)与x轴正半轴交于A、B两点（A点在B点左边），且AB=4．
（1）求k值；
（2）该抛物线与直线y=

1

2

x+2交于C、D两点，求S_△ACD；
（3）该抛物线上是否存在不同于A点的点P，使S_△PCD=S_△ACD？若存在，求出P点坐标．
（4）若该抛物线上有点P，使S_△PCD=tS_△ACD，抛物线上满足条件的P点有2个，3个，4个时，分别直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）此题要从AB=4入手，若设A、B点的横坐标分别为x₁、x₂（x₁、x₂＞0），那么显然有等量关系：|x₁-x₂|=4，即

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=4，而x₁+x₂、x₁x₂可由k表达出来，依据上面的等量关系即可得出k的值．
（2）首先联立直线CD和抛物线的解析式求出C、D两点的坐标，此时从图上可看出△ACD是一个不规则的三角形，所以可过A作y轴的平行线，交直线CD于E，那么以线段AE为底，C、D横坐标差的绝对值为高即可得出△ACD的面积．
（3）若设直线CD与y轴的交点为G，过点A作直线l₁∥CD交y轴于H，然后在y轴上取点L，使得GL=GH，再过L作直线l₂∥CD，那么直线l₁、l₂到直线CD的距离都等于点A到直线CD的距离，所以它们与抛物线的交点都是符合条件的P点．
（4）通过作图可以发现，在直线CD上方肯定有两个P点，所以只考虑直线CD下方的P点个数，这就要抓住P点有三个或直线CD下方有一个P点的情况：P为平行于CD的直线与抛物线的唯一交点；若上述情况（P点有三个）中，t=α，那么：P点有两个时，t＞α；P点有三个时，0＜t＜α．

解答：解：（1）设A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜x₂，x₁、x₂＞0，则：
x₁+x₂=2k，x₁x₂=2（k+2）=2k+4
AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4，即：k²-2k-8=0
解得：k₁=-2，k₂=4
∵x₁+x₂＞0，即k＞0
∴k=4．

（2）由（1）知，抛物线的解析式：y=

1

2

x²-4x+6，点A（2，0）、B（6，0）；
联立直线CD和抛物线的解析式，有：

y= 1 2 x+2 y= 1 2 x2-4x+6

，
解得

x1=1 y1= 5 2

、

x2=8 y2=6

即：C（1，

5

2

）、D（8，6）．
过A作直线AE∥y轴，交直线CD于E，则E（2，3），AE=3；
S_△ACD=

1

2

AE×|y_D-y_C|=

1

2

×3×7=

21

2

．

（3）如右图，设直线CD与y轴的交点为G，过点A作l₁∥CD交y轴于H，取GH=GL，过L作l₂∥CD交y轴于L；
设直线l₁：y=

1

2

x+b₁，代入A（2，0），得：

1

2

×2+b₁=0，b₁=-1
即，直线l₁：y=

1

2

x-1，H（0，-1），GL=GH=3，L（0，5）；
同上，可求得，直线l₂：y=

1

2

x+5；
联立直线l₁与抛物线的解析式，得：

y= 1 2 x-1 y= 1 2 x2-4x+6

，
解得

x1=2 y1=0

、

x2=7 y2= 5 2

即：P₁（7，

5

2

）；
联立直线l₂与抛物线的解析式，得：

y= 1 2 x+5 y= 1 2 x2-4x+6

，
解得

x1= 9+ 73 2 y1= 29+ 73 4

、

x2= 9- 73 2 y2= 29- 73 4

即：P₂（

9+ 73

2

，

29+ 73

4

）、P₃（

9- 73

2

，

29- 73

4

）；
综上，存在符合条件的P点，且坐标为 P₁（7，

5

2

）、P₂（

9+ 73

2

，

29+ 73

4

）、P₃（

9- 73

2

，

29- 73

4

）；
（4）当满足条件的P点有三个时，如右图：
直线l₃∥CD，且直线l₃与抛物线只有唯一交点P；
设直线l₃：y=

1

2

x+b₃，联立抛物线的解析式有：

1

2

x+b₃=

1

2

x²-4x+6，即：x²-9x+12-2b₃=0
△=81-4×（12-2b₃）=0，解得：b₃=-

33

8

即，直线l₃：y=

1

2

x-

33

8

，P（

9

2

，-

15

8

）；
过点P作直线PF∥y轴，交直线CD于F，则F（

9

2

，

17

4

）、PF=

49

8

；
S_△PCD=

1

2

PF×|y_D-y_C|=

1

2

×

49

8

×7=

343

16

，t=

S△PCD

S△ACD

=

343 16

21 2

=

49

24

；
综上上面的计算结果和图形来看：
当0＜t＜

49

24

时，P点有四个；
当t=

49

24

时，P点有三个；
当t＞

49

24

时，P点有两个．

点评：此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数与一元二次方程的联系以及三角形面积的解法；最后一题的难度较大，重点是抓住直线CD下方P点个数的情况，这就要从作图入手来进行分析，由于涉及的情况较多，是容易漏解的地方．