【题目】已知:是的内接三角形,且,直径交于点.
如图1 ,求证:;
如图2,将线段绕点顺时针旋转得到线段,旋转角为连接分别交,于点,连接,求证: ;
如图3,在(2)的条件下,当时,交于点若求的长.
【答案】见解析;见解析;6
【解析】
(1)如图 1,连接OB,OC,首先证明AO是线段的垂直平分线,再根据等腰三角形三线和一的性质即可证明;
(2)首先根据旋转的性质得到,又因为,从而得到,即可推出,再根据,即可推出结论;
(3)过点作交的延长线于点,过点作交的延长线于点,过点作于点,连接先证明,再证明四边形是矩形,推出,,在中,
,求出,在中,求出,在中, ,最后证明是等边三角形,即可求出OA的长度.
(1)如图 1,连接OB,OC,
,
点在线段的垂直平分线上,
同理点在线段的垂直平分线上,
直线是线段的垂直平分线,
;
如图 2
∵,,
∴,
∴,
又∵,
∴;
如图 3,过点作交的延长线于点,过点作交的延长线于点,过点作于点,连接
,
,
又,
∴,
,
,
四边形是矩形,
,
,
,
,
∴,
,
,
,
,
,
即,
,
∴,
在中,
∵,
,
,
∴,
在中,,
在中, ,
,
∴是等边三角形,
,
.
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【题目】如图,单位长度为1的网格坐标系中,一次函数 与坐标轴交于A、B两点,反比例函数(x>0)经过一次函数上一点C(2,a).
(1)求反比例函数解析式,并用平滑曲线描绘出反比例函数图像;
(2)依据图像直接写出当时不等式的解集;
(3)若反比例函数与一次函数交于C、D两点,使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形,且使得矩形的面积为10.
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【题目】如图所示的曲边三角形可按下述方法作出:作等边三角形;分别以点,,为圆心,以的长为半径作,,.三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形,如果一个曲边三角形的周长为,那么这个曲边三角形的面积是___________.
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【题目】本学期开学初,学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试,根据测试成绩制作了下面两个统计图.
根据统计图解答下列问题:
(1)本次测试的学生中,得4分的学生有多少人?
(2)本次测试的平均分是多少分?
(3)通过一段时间的训练,体育组对该班学生的跳绳项目进行了第二次测试,测得成绩的最低分为3分.且得4分和5分的人数共有45人,平均分比第一次提高了0.8分,问第二次测试中得4分、5分的学生各有多少人?
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【题目】如图,已知A(﹣3,3)、B(﹣4,1)、C(﹣1,1)是平面直角坐标系上的三点.
(1)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1;
(2)请画出△A1B1C1关于y轴对称△A2B2C2;
(3)判断以A、A1、A2为顶点的三角形的形状.(无需说明理由)
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【题目】如图,在等边△ABC中,BD=CE,连接AD、BE交于点F.
(1)求∠AFE的度数;
(2)求证:ACDF=BDBF;
(3)连接FC,若CF⊥AD时,求证:BD=DC.
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【题目】小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.
(1)温故:如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB, AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长.
(2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图2,任意画△ABC,在AB上任取一点P′,画正方形P′Q′M′N′,使Q′,M′在BC边上,N′在△ABC内,连结B N′并延长交AC于点N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥BC于点Q,得到四边形PQMN.小波把线段BN称为“波利亚线”.
(3)推理:证明图2中的四边形PQMN 是正方形.
(4)拓展:在(2)的条件下,于波利业线B N上截取NE=NM,连结EQ,EM(如图3).当tan∠NBM=时,猜想∠QEM的度数,并尝试证明.
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.
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【题目】在和中,,直线与交于点.
(1)如图1,若,填空:①的值为____________;
②的度数为___________.
(2)如图2,若,求的值(用含的式子表示)及的度数;
(3)若,,,将三角形绕着点在平面内旋转,直接写出当点、、在同一直线上时,线段的长.
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