Question

【题目】如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为，那么这个曲边三角形的面积是___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据周长，利用弧长公式，可求得等边△ABC的边长，然后用以A、B、C为圆心的三个扇形面积和减2个△ABC的面积解得．

∵曲边三角形的周长为

∴一条曲边的长为：π

∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，即一段弧对应的圆心角为60°

∴π

解得：r=2，即AB=BC=AC=2

如下图，阴影部分是以A为圆心的扇形

面积为：π

同样以点B、C为圆心的扇形面积也为：π

则这三个扇形面积和为：2π

发现，三个扇形面积相加，中间的△ABC的面积计算了3次，我们还需要减去2次

如下图，过点A作BC的垂线，交BC于点D

∵等边△ABC的边长为2

∴CD=1，AD=

∴△ABC的面积==

∴曲边三角形的面积=2π-2

故答案为：