Question

【题目】如图，是⊙的直径，点在⊙上，平分，是⊙的切线，与相交于点.

（1）求证：；

（2）若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；

（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=，所以tanα=，从而可求出AB=，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．

试题解析：（1）设∠BAD=α，

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=α，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣2α，

∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE=2α，∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，

∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，∴∠D=∠BED，∴BD=BE

（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，

∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，

∵BD=BE，DE=2，∴FE=FD=1，

∵BD=，∴tanα=，∴AB=.

在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，

∴解得：x=﹣或x=，∴CE=；