Question

【题目】 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点．点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线下方的抛物线上运动时，求线段长度的最大值；

（3）若点是平面内任意一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，线段的长度有最大值，为；（3）存在，的值为，，或．

【解析】

（1）先根据直线解析式求得点A的坐标，再将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可得到答案；（2）根据PD⊥x轴知点P的横坐标为m，由点D与点P所在的位置表示两点的坐标，得到线段PD的二次函数解析式，利用顶点式解析式即可求得最大值；（3）当四边形为菱形时四条边相等，故△BCP为等腰三角形，分三种情况，根据两边相等求得m值

解：（1）对于，

令，得，

∴ ．

将，代入，

得

解得

故抛物线的解析式为．

（2）易得，，

∴

∵ 点在直线下方的抛物线上，

∴ ．

∵

∴ 当时，线段的长度有最大值，为．

（3）存在，的值为，，或．

解法提示：当以，，，为顶点的四边形为菱形时，必为等腰三角形．

由，，，

得，，

．

分以下三种情况讨论．

①当时，，

即，

解得（不合题意，舍去），．

②当时，，

即，

解得，．

③当时，，

即，

解．

综上可知，的值为，，或．