Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，若△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点处，F为AD上一点，且，EF与BD相交于点G，与BD相交于点H，，HG=2,则BD=__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先证明出△CE∽△BA，然后得出，进一步再证明△EDF∽△DAB，从而结合题意得出EF⊥BD，然后证明出四边形HGE是矩形，得出HG=E=DE=2，之后设EC=y，C=x，通过△BH∽△，表示出BD，然后再通过△DFE∽△CE建立方程求出符合题意的y的值，进而计算求出BD即可.

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∵∠AE=∠D=90°，

∴∠A+∠E=90°，∠E=90°，

∴∠A，

∴△C,

∴,

∵C=DF，A，，

∴,

∵∠EDF=∠BAD=90°，

∴△EDF∽△DAB，

∴∠FED=∠ADB，

∵∠ADB+∠BDC=90°，

∴∠FED+∠BDC=90°，

∴EF⊥BD，

又∵∥BD，A，

∴BD⊥A,

∴四边形HGE是矩形，

∴HG=E=DE=2，

设EC=y，C，

易得△EGD≌△，

∴DG=CE=y，EG=C=H，

∵∥BD,

∴∠E,

∵∠C=∠BH，

∴△BH∽△

∴,

∴，

即BH=,

∴BD=BH+GH+DG=,

易得：△DFE∽△CE，

∴

即，

∴，

∵，

∴，

∴或（舍去），

∴BD=.

所以答案为.