Question

已知△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，联结AF、AE，交BD于点G．
（1）如图（1），求证：∠EAF=∠ABD；

图（1）
（2）如图（2），当AB=AD时，M是线段AG上一点，联结BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．

图（2）

Answer 1

(1)见解析；（2）FM=FN．

试题分析：（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF=∠2，FA=FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA，∠1=∠BAF，则∠5=∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，则∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；
（2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG=∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：．即．设GF=2a（a＞0），AG=3a，则GD=a，FD=a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得，则．设EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则又由FQ∥ED，易证得，所以FM=FN．
试题解析：
证明：如图1 连接FE、FC

∵点F在线段EC的垂直平分线上,
∴FE=FC   ∴∠l=∠2
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称．
∴AB=CB,∠4=∠3，又BF=BF
∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠2，FA=FC
∴FE=FA，∠1=∠BAF．
∴∠5=∠6，
∵∠l+∠BEF=180º，∴∠BAF+∠BEF=180º
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360º
∴∠AFE+∠ABE=180º
又∵∠AFE+∠5+∠6=180º，
∴∠5+∠6=∠3+∠4
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD
解：FM=FN
证明：如图2，

由(1)可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA
∴∠AGF=∠BAF
又∵∠MBF=∠BAF，∴∠MBF=∠AGF
又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG
∴BG=MG
∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．
∴
∵AF=AD
∴
设GF=2a，则AG=3a，
∴GD=a，∴FD=DG-GF==a
∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.
∴．∴，
设EG=2k，则MG=BG=3k
过点F作FQ∥ED交AE于Q，
∴．∴,∴GQ=EG=
∴QE=   ∴MQ=MG+GQ=3k+=
∵FQ∥ED，
∴.
∴FM=FN.