Question

【题目】若抛物线L：（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1）若直线y=mx+1与抛物线具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣1，n=1；（2）或；（3）≤S≤．

【解析】

试题分析：（1）找出直线y=mx+1与y轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出n的值；再根据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得出结论；

（2）找出直线与反比例函数图象的交点坐标，由此设出抛物线的解析式，再由直线的解析式找出直线与x轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出结论；

（3）由抛物线解析式找出抛物线与y轴的交点坐标，再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标，由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”l的解析式，找出该直线与x、y轴的交点坐标，结合三角形的面积找出面积S关于k的关系上，由二次函数的性质即可得出结论．

试题解析：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，即直线与y轴的交点为（0，1）；

将（0，1）代入抛物线中，得n=1．

∵抛物线的解析式为=，∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．

将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1．

答：m=﹣1，n=1．

（2）将y=2x﹣4代入到中有，2x﹣4=，即，解得：，，∴该“路线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．

令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4，∴“路线”L的图象过点（0，﹣4）．

设该“路线”L的解析式为或，由题意得：或，解得：m=2，n=，∴此“路线”L的解析式为或．

（3）令抛物线L：中x=0，则y=k，即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．

抛物线L：的顶点坐标为（，），设“带线”l的解析式为y=px+k，∵点（，）在y=px+k上，∴，解得：p=，∴“带线”l的解析式为．

令∴“带线”l：中y=0，则，解得：x=．

即“带线”l与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，k），∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=====，∵≤k≤2，∴≤≤2，∴S=，当=1时，S有最大值，最大值为；当=2时，S有最小值，最小值为．

故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤．