Question

【题目】已知在扇形中，圆心角，半径．

（1）如图1，过点作，交弧于点，再过点作于点，则的长为_________，的度数为_________；

（2）如图2，设点为弧上的动点，过点作于点，于点，点分别在半径，上，连接，则

①求点运动的路径长是多少？

②的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）在（2）中的条件下，若点是的外心，直接写出点运动的路经长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②是定值，为；（3）

【解析】

（1）先求出∠AOE，再解直角三角形，即可得出结论；
（2）①当点M与点O重合时，∠PMB=30°，当点N与点O重合时，∠PNA=30°，进而求出点P运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°，最后用弧长公式即可得出结论；
②先判断出点P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上，进而求出MK=，即可得出结论；

（3）先判断出三角形PMN的外接圆的圆心的运动轨迹，最后根据弧长公式即可得出结论．

解：（1）∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

在中，．

∴，，

故答案为：，

（2）①点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，

当点与点重合时，，

当点与点重合时，，

∴点运动路径所对的圆心角是，

∴点运动的路径长；

②是定值；

连接，取的中点，连接，，

∵在和中，点是斜边的中点，

∴，

∴根据圆的定义可知，点四点均在同一个圆，即上，

又∵，，

∴，，

过点作，垂足为点，

由垂径定理得，，

∴在中，，，则，

∴，是定值．

（3）由（2）知，点四点共圆，

∴是的外接圆的圆心，即：点和点重合，

∴，

∴点是以点为圆心，为半径，

∴点运动路径所对的圆心角是，

∴点运动路径所对的圆心角是，

∴点运动的路经长为．