Question

19．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为$\sqrt{5}$的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，顶点A的坐标为（0，2），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）直角顶点C的坐标为（-1，0）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点D是（1）中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连接BD、CD．当△BCD的面积最大时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出OC，即可解答；
（2）过点B作x轴的垂线，通过构建的全等三角形可确定点B的坐标；再利用待定系数法确定函数的解析式即可．
（3）已知B、C点的坐标，那么在求△BCD的面积时，可以B、C的横坐标差的绝对值作为△BCD的一个高，过D作x轴的垂线交直线BC于M，那么可将DM当作此时△BCD的底，可据此求出关于△BCD的面积的函数关系式，再由所得函数的性质来求解．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（0，2），
∴OA=2，
在Rt△AOC中，CO=$\sqrt{A{C}^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}=1$，
∴点C的坐标为（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
（2）如图，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，

则∠BFC=∠COA=90°
∵∠BCF+∠ACO=∠ACO+∠CAO=90°
∴∠BCF=∠CAO，
又∵BC=CA，
在△BCF和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠CA}\\{∠BFC=∠AOC}\\{BC=CA}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△CAO，
∴BF=CO=1，FC=OA=2，
∴OF=1+2=3，
∴B（-3，1），
把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：1=9a-3a-2，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x-2．
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（-3，1），C（-1，0）代入上式得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
设点D的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m-2），过点D作DM⊥x轴交直线BC于点M
所以点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），
MD=${y}_{M}-{y}_{D}=-\frac{1}{2}{m}^{2}-m+\frac{3}{2}$．
再设三角形BCD的面积为S．
S=$\frac{1}{2}$MD（x_C-x_B）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}{m}^{2}-m+\frac{3}{2}$）×2=-$\frac{1}{2}（m+1）^{2}$+2，
因为S是m的二次函数，且a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当m=-1时S有最大值2，此时点D的坐标为（-1，-2）．

点评 该题涉及的内容较多，难度也较大，主要考查的知识点有：函数解析式的确定、特殊几何图形的判定和性质以及图形面积的解法等．在解题时，一定要注意数形结合思想的合理应用，通过部分辅助线往往可以题目变的简洁、明了．