Question

设抛物线与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB＝90°.

（1）求m的值；

（2）求抛物线的解析式，并验证点D（1，－3 ）是否在抛物线上；

（3）已知过点A的直线交抛物线于另一点E. 问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解：（1）令x＝0，得y＝－2   ∴C（0，－2）

∵∠ACB＝90°，CO⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ，∴OA?OB＝OC²

∴OB＝       ∴m＝4    

（2）将A（－1，0），B（4，0）代入，解得

∴抛物线的解析式为

当x=1时，=－3，∴点D（1，－3）在抛物线上。（3）由    得   ，∴E（6，7）

过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），

∴ AH＝EH＝7      ∴∠EAH＝45°

作DF⊥x轴于F，则F（1，0）

∴BF＝DF＝3         ∴∠DBF＝45°

∴∠EAH=∠DBF=45°

∴∠DBH=135°，90°<∠EBA<135°

则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：

①若△DBP₁∽△EAB，则,∴

∴，∴

②若△∽△BAE，则,∴

∴    ∴

综合①、②，得点P的坐标为：