Question

【题目】已知抛物线，直线，直线

（1）当m=0时，若直线经过此抛物线的顶点，求b的值

（2）将此抛物线夹在之间的部分（含交点）图象记为，若，

①判断此抛物线的顶点是否在图象上，并说明理由；

②图象上是否存在这样的两点：，其中？若存在，求相应的和的取值范围

Answer 1

【答案】（1）b=-2；（2）①不在，理由详见解析；②不存在，理由详见解析.

【解析】

(1) 把m=0代入即可求出抛物线解析式，则可得顶点坐标为，把顶点坐标代入，可求得b的值；

（2）①将抛物线化成顶点式 后，得出抛物线顶点为（m，2m-2）.当x=m时，对于，对于由于，可得 顶点（m，2m-2）在的下方，即可得出结论；②设直线与抛物线交于A、B两点，且，由方程 ，可得，此时 ；设直线与抛物线交于C，D两点，且 ，由方程，可得 ，此时 可得 ，可判断 由于，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点，其中， 所以 ，由于抛物线的开口向上，可得当x<m时，y随x的增大而减小，由于抛物线顶点在的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧，设 是抛物线上A、C两点之间的任意一点，则有 ，故 ，又因为在抛物线上必存在其对称点 ，其中 ，故 ，故抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方.同理，抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方,所以图像C上不存在这样的两点：和，其中

（1）解：当m=0时，抛物线：

则顶点坐标为（0，-2）

把（0，-2）代入，可得b=-2

（2）①抛物线的顶点不在图像C上，理由如下：

因为 ，

所以抛物线顶点为（m，2m-2）

当x=m时，对于，对于

因为

所以

所以

即顶点在的下方

所以抛物线的顶点不在图像C上

②解：设直线与抛物线交于A、B两点，且

解得

因为 ，且对于，y随x的增大而增大

所以

所以，此时

设直线与抛物线交于C，D两点，且

所以

所以

因为

所以，

所以

因为 ，且对于，y随x的增大而增大，

所以

所以 ，此时

因为 ，

又因为

所以

又因为

所以，即

因为，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点，其中

所以

因为抛物线的开口向上，

所以当x<m时，y随x的增大而减小，

因为抛物线顶点在的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧，

设 是抛物线上A、C两点之间的任意一点，则有

所以

又因为在抛物线上必存在其对称点 ，其中

所以

也即抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方

同理，抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方

所以图像C上不存在这样的两点：和，其中