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    【题目】如图，在中，，，是线段延长线上一点，连接，过点作于.

    （1）求证：.

    （2）将射线绕点顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点，连接.

    ①依题意补全图形；

    ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.

    【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②，理由详见解析.

    【解析】

    (1)利用同角的余角即可解出此问.

    (2)①根据题意补全图形;②过点C作CG⊥CE角AE于G,进而判断出∠CAE=∠CBD,即可判断△ACG≌△BCE,得出AG=BE,CG=CE,进而判断出EC=CE,得出AE=BE+CE,再判断出EF=AE,即可.

    （1）证明：如图1，

    ∵，，

    ∴，

    又∵，

    ∴.

    （2）①补全图形如图2.

    ②.

    证明：在上截取，使.

    又∵，，

    ∴.

    ∴，.

    又∵.

    ∴.

    ∴.

    又∵射线绕点顺时针旋转

    后得到，且，

    ∴.

    ∴

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    （1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

    （2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？

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    【题目】已知抛物线，直线，直线

    （1）当m=0时，若直线经过此抛物线的顶点，求b的值

    （2）将此抛物线夹在之间的部分（含交点）图象记为，若，

    ①判断此抛物线的顶点是否在图象上，并说明理由；

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    【题目】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m为常数）．

    （1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；

    （2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是 ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程.

    已知：如图1，和外的一点.

    求作：过点作的切线.

    作法：如图2，

    ①连接；

    ②作线段的垂直平分线，直线交于；

    ③以点为圆心，为半径作圆，交于点和；

    ④作直线和.

    则，就是所求作的的切线.

    根据上述作图过程，回答问题：

    （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；

    （2）完成下面的证明：

    证明：连接，，

    ∵由作图可知是的直径，

    ∴（______）（填依据），

    ∴，，

    又∵和是的半径，

    ∴，就是的切线（______）（填依据）.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】国家计划2035年前实施新能源汽车，某公司为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，决定对近期研发出的一种新型能源产品进行降价促销.根据市场调查：这种新型能源产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个新型能源产品的成本为100元.

    问：（1）设该产品的销售单价为元，每天的利润为元.则_________（用含的代数式表示）

    （2）这种新型能源产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．

    （1）求证：DE是⊙O的切线；

    （2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．

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    【题目】如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．

    （1）填空：______；

    （2）当且点运动的速度也是时，求证：；

    （3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值．

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    【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得点O在边AB上，且⊙O经过B、D两点；并证明AC与⊙O相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

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