Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．

（1）如图1，直按写出的值　 　；

（2）将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当BE＝BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜360°），当α为何值时，EA＝ED？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）DF＝AE，理由见解析；（3）作图见解析，30°或150°

【解析】

(1)直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；

(2)先判断出，进而得出△ABE∽△DBF，即可得出结论；

(3)先判断出点E在AD的中垂线上，再判断出△BCE是等边三角形，求出∠CBE=60°，再分两种情况计算即可得出结论．

(1)∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABD=45，BD=AB，

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90，

∴∠BFE=∠ABD=45，

∴BE=EF，

∴BF=BE，

∴DF=BD﹣BF=AB﹣BE= (AB﹣BE)=AE，

∴，

故答案为：；

(2)DF=AE，

理由：由(1)知，BF=BE，BD=AB，∠BFE=∠ABD=45，

∴，

由旋转知，∠ABE=∠DBF，

∴△ABE∽△DBF，

∴，

∴DF=AE；

(3)如图3，连接DE，CE，

∵EA=ED，

∴点E在AD的中垂线上，

∴AE=DE，BE=CE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ABC=90，AB=BC，

∴BE=CE=BC，

∴△BCE是等边三角形，

∴∠CBE=60，

∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=90-60=30，

即：α=30，

如图4，同理，△BCE是等边三角形，

∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90+60=150，

即：α=150，

故答案为：30或150．