Question

8．如图所示，一根木棒AB长为2，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°，当木棒A端沿NO向下滑动到A′，B端沿直线OM向右滑动到B′，若AA′=$\sqrt{3}$-1，则木棒的中点从P随之运动到P′所经过的路径长为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A′B′=OP′，即P是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△AOB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOP=30°，OA=$\sqrt{3}$，则易求出OA′=OA-AA′=1，即可得到△A′OB′为等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，则∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根据弧长公式计算即可．

解答 解：如图，连接OP、OP′，
∵ON⊥OM，P为AB中点，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A′B′=OP′，
∵AB=2，
∴OP=1，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长1，
∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=$\sqrt{3}$，
∵AA′=$\sqrt{3}$-1，OA′=OA-AA′=1，
∴sin∠A′B′O=$\frac{OA′}{A′B′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP=45°
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的长=$\frac{15π×\frac{1}{2}}{180}$=$\frac{π}{6}$，
即P点运动到P′所经过路线PP′的长为$\frac{π}{6}$，
故答案是：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了轨迹和弧长公式：l=$\frac{nπR}{180}$（n为弧所对的圆心角的度数，R为半径），也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．