Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上一动点，CE⊥BP于E，连DE，
（1）设AP=x，△DCE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（2）求AP为何值时，△CDE是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）容易证出△PAB∽△BEC∽△CGD∽△CFE，即可得出BP，CE，EF，从而得出y与x之间的函数关系式；
（2）△CDE是等腰三角形，分三种情况，①当DC=DE时，推出x=

1

2

；②当ED=EC时，推出x=1；③当CD=CE时，推出CE=BC，不可能．

解答：解：（1）易证△PAB∽△BEC∽△CGD∽△CFE，
∵AP=x，AB=1，∴BP=

x2+1

，
推出：CE=

x2+1

x2+1

，EF=

1

x2+1

，
这样y=

1

2(x2+1)

0≤x≤1

（2）当DC=DE时，CG=

1

2

CE，

CG

AP

=

DC

BP

，推出x=

1

2

当ED=EC时，CF=

1

2

，

CF

AP

=

CE

BP

，推出x=1
当CD=CE时，推出CE=BC，即点E与点B重合，△CDE是等腰三角形是等腰直角三角形，此时x=0．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，是一道综合题目，难度不大．