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    如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．则下列结论：
    ①若∠MFC=120°，则∠MAB=30°；②∠MPB=90°-∠FCM；③△ABM∽△CEF； ④S梯形AMCD-2S△EFC=3S△MFC，正确的是（ ）
    A．①②④
    B．①③④
    C．①②③
    D．①②③④
    【答案】分析：连接DF，MD，根据线段的垂直平分线的性质，以及CF=AD，MF=MA，即可证明△AMD≌△FMD≌△FMC，根据相似三角形的性质即可判断．
    解答：解：连接DF，MD，
    ①∵ME⊥CD，E为CD中点
    ∴ME垂直平分CD
    ∴MC=MD，
    在△CMF和△DMA中，
    ∵，
    ∴△CMF≌△DMA
    ∴∠MAD=∠MFC=120°
    又∵∠BAD=90°
    ∴∠MAB=30°
    故①正确；
    ∴AM=2MB
    ②∵△CMF≌△DMA
    ∴∠FCM=∠ADM
    又∵AD‖BC
    ∴∠CMD=∠ADM=∠FCM
    ∵MC=MD，ME为CD边中垂线
    ∴ME为∠DMC的角平分线
    ∴∠BMP=∠CMD=∠FCM
    又∵AB⊥BC
    ∴∠MPB+∠BMP=90°
    ∴∠MPB=90°-∠FCM
    故②正确；
    ③∵∠AMD=∠DMP=∠EMC，∠EFC=∠FMC+∠FCM
    ∴∠AMB=∠EFC
    ∵∠ABM=∠MEC
    ∴△ABM∽△CEF
    故③正确．
    ④由题意得出：△AMD≌△FMD≌△FMC，
    ∴S△AMD=S△FMD=S△FMC
    ∴S梯形AMCD-S△AMD-S△FMD-S△FMC=S△DEF+S△EFC
    又∵S△DEF=S△EFC
    即S梯形AMCD-3S△FMC=2S△EFC
    ∴S梯形AMCD-2S△EFC=3S△MFC，
    故④正确；
    故正确的是①②③④．
    故选D．
    点评：本题主要考查了线段的垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，注意到△AMD≌△FMD≌△FMC是解决本题的关键．
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    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
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    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

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    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

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    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

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    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

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