Question

【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B（5,0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M(2,-9)，连接BM，点P为线段BM上的一个动点．

(1)求二次函数的解析式．

(2)过点P作x轴的垂线，垂足为点Q，求四边形ACPQ面积的最大值．

(3)是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，或 或

【解析】

（1）根据抛物线的顶点为，将化成顶点式，然后将点代入，化简计算即可；

（2）求出A，B，C三点的坐标，可得直线的表达式为，设点，则，根据化简求解即可；

（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时分别求解即可.

解：（1）抛物线的顶点为，

设抛物线的表达式为.

将点代入得，.

解得

二次函数的表达式为；

（2）令，得，

.

抛物线的对称轴为直线，，

.

由，可得直线的表达式为，

设点，则，

则

.

,,

当时，四边形面积有最大值，最大值为；

（3）存在，由（2）知直线的表达式为.

设，其中，

由，，可得，

，，；

分情况讨论如下：

1. 当时，有.

解得（舍），，

此时点的坐标为；

2. 当时，有.

解得（舍），，

此时点的坐标为；

3. 当时，有.

解得

此时点的坐标为；

综上所述，当是等腰三角形时，点的坐标为，或 或.