Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点在坐标轴上，，且，将沿着翻折到．

（1）求点的坐标；

（2）动点从点出发，沿轴以个单位秒的速度向终点运动，过点作直线垂直于轴，分别交直线、直线于点、，设线段的长为，点运动时间为秒，求与的关系式，并写出的取值范围．

(3如图2在（2）的条件下，点为点关于轴的对称点，点在直线上，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出值和点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，6）；（2）y与x的关系式为：；（3）t=3，M（2，9）

【解析】

（1）根据点坐标求出OA、OB、OC，证明△BCD是等边三角形，过点D作DH⊥y轴于H，根据折叠的性质证明△ABO≌△ADH，求出DH、AH即可得到点D的坐标；

（2）先求出直线AD与直线CD的解析式，再分直线PM在点D左侧与右侧分别求出y与x的解析式即可；

（3）根据以、、、为顶点的四边形为平行四边形且F在直线PM上，确定点F在第一象限，根据AF=B求出t的值，即可确定点M的坐标.

（1）∵A（0,3），B(-,0)，

∴OA=3，OB=,

∴AB==2，

∵C(3，0)，

∴OC=3，

∴AC==6，BC=4，

∴，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，

∴∠ABC=60°，

∴∠ACB=30°，

由折叠得：∠ACD=∠ACB=30°，∠CAD=∠BAC=90°，

∴B、A、D三点共线，∠BCD=60°，

∴△BCD是等边三角形，

过点D作DH⊥y轴于H，

由折叠得：AD=AB，

∵∠OAB=∠DAH，∠AHD=∠AOB=90°，

∴△ABO≌△ADH,

∴DH=OB=，AH=OA=3，

∴点D的坐标是（，6）；

（2）

∵A(0，3)，D(，6），∴直线AD的解析式为：y=x+3，

∵C（3,0），∴直线CD的解析式为：y=-x+9，

当直线PM在点D的左侧时，此时，

MN=-x+9-（x+3）=-2x+6，

当直线PM在点D右侧时，此时，

MN=x+3-(-x+9)=2x-6，

综上，y与t的关系式为： ；

（3）∵点为点关于轴的对称点，C（3,0），

∴（-3,0），

∴B=2，

∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形，且F在直线PM上，

∴点F在第一象限，且AF=B=2，AF∥B，

令直线CD的解析式y=-x+9中y=3时，得x=2，

∴N（2,3），

∴AN∥x轴，

∴点F与点N重合，

∴点M的横坐标为2，

将x=2代入y=x+3中得y=9，

∴点M的坐标为（2，9），

∵点P的横坐标是2，

∴t=.